Monday, April 6, 2020

SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN

Peralatan yang menggunakan system digital dalam operasinya berdasar kepada  perhitungan-perhitungan yang erat kaitannya dengan penggunaan sistem bilangan.
Dalam rangkaian logika kita mengenal bermacam-macam bilangan yang diantaranya adalah bilangan desimal, bilangan biner, bilangan oktal, dan bilangan hexadesimal.

A.  JENIS DAN KONVERSI SISTEM BILANGAN
1.  Bilangan Desimal
Pada umumnya dalam kehidupan sehari-hari kita menggunakan sistem bilangan desimal, yaitu bilangan yang terdiri dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dari  deretan  angka-angka diatas maka setelah angka 9 akan terjadi angka-angka yang lebih besar  seperti 10, 11, 12, 13 dan seterusnya. Angka-angka tersebut merupakan kombinasi dari angka 0 sampai 9. Angka-angka 0 sampai 9 ini dinamakan desimal digit, dimana  harga-harga dari desimal digit tersebut tergantung dari letak urutannya atau yang  disebut harga tempat. Jadi bilangan desimal mempunyai 10 suku angka atau disebut juga radik. Radik adalah  banyaknya suku angka  atau digit yang  dipergunakan  dalam  suatu sistim bilangan. Dengan demikian maka RADIX suatu sistem bilangan dapat ditentukan dengan rumus R = n + 1. Dimana R = Radik dan n = angka akhir dari sistem bilangan.
Setiap sistem bilangan mempunyai RADIX yang berbeda seperti:
-  Sistem bilangan Biner mempunyai Radix = 2
-  Sistem bilangan Oktal mempunyai Radix = 8
-  Sistem bilangan Desimal mempunyai Radix = 10
-  Sistem bilangan Hexadesimal mempunyai Radix = 16
2.  Bilangan Biner
Perlu diketahui bahwa pada rangkaian digital atau rangkaian logika sistem operasinya menggunakan prinsip adanya dua kondisi yang pasti yaitu:
a.      Logika “1” atau “0”
b.      Ya atau Tidak
c.       High atau Low
d.      True (benar) atau False (salah)
e.      Terang atau Gelap
Kondisi-kondisi tersebut dapat dilukiskan sebagai saklar yang sedang menutup (on) dan  saklar yang sedang terbuka ( off ). Metode bilangan yang sesuai dengan prinip kerja dari  saklar tersebut adalah penerapan bilangan biner atau dalam bahasa asingnya  binary  number. Pada bilangan biner jumlah digitnya adalah dua yaitu “0” dan “1”, sedangkan untuk sistim bilangan lainnya adalah seperti berikut ini:
-  Bilangan biner (2 digit ): 0, 1
-  Bilangan oktal (8 digit): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
-  Bilangan desimal (10 digit) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-  Bilangan hexades imal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Seperti sudah dijelaskan diatas bahwa bobot bilangan dari suatu sistim bilangan tergantung dari letak susunan digit nya atau disebut juga harga tempat. 
Harga tempat dari bilangan desimal adalah:
Dst. ---
10.000
1.000
100
10
1
10n  ---
104
103
102
101
10
Berdasarkan harga tempat diatas, maka  kita dapat menentukan bobot bilangan dari suatu sistem bilangan tertentu. Sebagai contoh misalnya bilangan desimal 4567 atau ditulis (4567)10 mempunyai bobot bilangan sebagai berikut:
Dst. ---
10.000
1.000
100
10
1
---------

4 x 103
5 x 102
6 x 101
7 x 10
Jadi (4567)10  = 4000 + 500 + 60 + 7
Harga tempat dari bilangan biner adalah:
Biner
28
27
26
25
24
23
22
21
20
Desimal
256
128
64
32
16
8
4
2
1

Perlu diketahui bahwa angka biner yang dipergunakan dalam sistim bilangan biner disebut BIT (Binary Digit ). Sebagai contoh misalnya:
101 = 3 BIT
1101 = 4 BIT
11010 = 5 BIT
BILANGAN  BINER
BILANGAN DESIMAL
0    0    0    0
0    0    0    1 
0    0    1    0 
0    0    1    1 
0    1    0    0
0    1    0    1
0    1    1    0
0    1    1    1
1    0    0    0
1    0    0    1
1    0    1    0
1    0    1    1
1    1    0    0  
1    1    0    1  
1    1    1    0  
1    1    1    1  
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Dari tabel diatas terlihat bahwa angka 1 bilangan biner akan bertambah besar apabila bergeser kekiri. Dengan demikian digit paling kiri merupakan angka satuan yang terbesar dan digit paling kanan merupakan angka satuan terkecil.

2.1   Merubah bilangan biner menjadi bilangan desimal
Dalam perhitungan operasi logika pada umumnya bilangan biner diberi tanda (....)2 sedangkan bilangan desimal diberi tanda (....)10 Adapun maksud penandaan tersebut. adalah untuk membedakan jenis dan tiap-tiap sistem bilangan.
Contoh:            Bilangan biner    (1101)2
Bilangan oktal     (142)8
Bilangan desimal    (96)10
Bilangan hexadesimal  (2B)16
Contoh soal: Rubahlah bilangan biner (11101)2 menjadi bilangan desimal  
Soal diatas dapat diselesaikan dengan 3 cara yaitu:
Cara pertama:
Biner
28
27
26
25
24
23
22
21
20
Desimal
256
128
64
32
16
8
4
2
1
Biner




1
1
1
0
1
Jadi bilangan biner (11101)2  = 16+8+4+1 = 29
Cara kedua:
(11101)2          = (1x24 ) + (1x23 ) + (1x22 ) + (10x21 ) + (1x20)
                                   =     16     +      8     +      4      +      0        +     1      = (29)10
2.2              Merubah bilangan desimal menjadi bilangan biner 
Untuk merubah bilangan desimal menjadi bilangan biner dapat dilakukan dengan dua cara  yaitu: Menggunakan harga tempat dan membagi dua terus menerus bilangan desimal.
Contoh: Rubahlah bilangan desimal (53)10 menjadi bilangan biner.
Jawab: cara pertama dengan menggunakan harga tempat
Biner
28
27
26
25
24
23
22
21
20
Desimal
256
128
64
32
16
8
4
2
1

(53)10   =  32  +  16  +  0  +   4  +  0  +   1
=  25  +   24  +  0  +  22  +  0  +   20    
=  1      1       0     1     0      1
Jadi (53)10    = (110101)2
Cara kedua:
Dengan membagi 2 terus menerus sampai sisanya menjadi 0 atau 1 dan pembacaannya mulai dari bawah.
53/2 =   26   sisa 1
26/2 =   13   sisa 0
13/2 =     6   sisa 1
6/2 =     3   sisa 0
3/2 =     1   sisa 1
1/2 =     0   sisa 1
Jadi (53)10  = (110101)2 . Dibaca dari bawah keatas. 

3  Bilangan Oktal
Dalam rangkaian logika selain bilangan desimal dan bilangan biner, kita mengenal pula bilangan oktal. Bilangan oktal mempunyai 8 buah digit yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, radik  bilangan oktal adalah 8. Dalam bilangan oktal tidak ada angka 8 dan 9, angka selanjutnya setelah angka 7 adalah angka 10, 11, 12 dan seterusnya. Agar lebih jelas perhatikan bilangan oktal dibawah ini.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 selanjutnya 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, selanjutnya 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 selanjutnya 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 dan seterusnya.
Sama halnya dengan bilangan biner dan bilangan desimal, bilangan oktal mempunyai harga tempat seperti dibawah ini:
Oktal
84
83
82
81
80
Desimal
4096
512
64
8
1

3.1   Merubah bilangan oktal menjadi bilangan desimal
Untuk merubah bilangan oktal menjadi bilangan desimal dapat dilakukan dengan harga  tempat. Caranya adalah dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
·         Letakkan bilangan oktal dibawah harga tempatnya
·         Kalikan masing-masing digit dari bilangan oktal sesuai dengan harga tempatnya
·         Jumlahkan hasil perkalian masing-masing digit bilangan oktal
Contoh: Rubahlah bilangan oktal (234)8 menjadi bilangan desimal
Penyelesaian:
Oktal
82
81
80
Desimal
64
8
1
(2x82 ) + (3x81 ) + (4x80 ) = (2x64) + (3x8) + (4x1) = 128 + 24 +4 = 156
Jadi (234)8      = (156)10  

3.2    Merubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal
Merubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat dilakukan dengan menggunakan  harga tempat dan membagi 8 bilangan desimal terus menerus dan hasilnya dibaca dari bawah keatas.
Contoh: Rubahlah bilangan desimal (678)10 menjadi bilangan oktal. 
Soal diatas dapat diselesaikan dengan mudah dan sederhana dengan cara membagi 8 bilangan desimal secara terus menerus.
678/8  = 84   sisa 6
 84/8  = 10   sisa 4
 10/8  =  1   sisa 2
   1/8  =  0   sisa 1    Dibaca dari bawah keatas = (1246)8

3.3    Merubah bilangan oktal menjadi bilangan biner
Untuk merubah bilangan oktal menjadi bilangan biner dapat dilakukan dengan cara merubah setiap angka dari bilangan oktal menjadi bilangan biner 3 bit.
Contoh: Rubahlah bilangan oktal (65)8 menjadi bilangan biner
Penyelesaian:
(65)8      6 = (110)2
  5 = (101)2
Jadi (65)  = (110 101)2
3.4    Merubah bilangan biner menjadi bilangan oktal
Untuk merubah bilangan biner menjadi bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara mengelompokkan bilangan biner 3 bit mulai dari sebelah kanan, kemudian kelompok tiga bit tersebut diubah kedalam bilangan desimal.
Contoh: Rubahlah bilangan biner (101110111)2 menjadi bilangan oktal
Penyelesaian:
(101110111)2 =  (101  110  111)2
        5        6      7
Jadi (101110111)2 = (567)8 
4  Bilangan Hexadesimal
Bilangan hexadesimal mempunyai 16 suku angka/digit seperti berikut ini: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Huruf-huruf A sampai F adalah sebagai pengganti dari angka-angka bilangan desimal mulai dar i 10 sampai 15. 
(A )16 = (10)10       (D)16 = (13)10 
(B )16 = (11)10       (E)16 = (14)10 
(C)16 = (12)10        (F)16 = (15)10 
Seperti juga halnya dengan sistem bilangan lainnya, maka sistem bilangan hexadesimal juga mempunyai harga tempat seperti dibawah ini.
Hexadesimal
163
162
161
160
Desimal
4096
256
16
1

Urutan bilangan hexadesimal dan bilangan lainnya adalah seperti dibawah ini. 
Persamaan bilangan
Hexsadesimal
Desimal
Oktal
Biner
1
1
1
0001
2
2
2
0010
3
3
3
0011
4
4
4
0100
5
5
5
0101
6
6
6
0110
7
7
7
0111
8
8
10
1000
9
9
11
1001
A
10
12
1010
B
11
13
1011
C
12
14
1100
D
13
15
1101
E
14
16
1110
F
15
17
1111

4.1    Merubah bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner
Untuk merubah bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner dapat ditempuh dengan cara  merubah setiap digit dari bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner 4 bit, kemudian  menyusunnya berdasarkan urutannya. Bilangan hexadesimal dalam penulisannya diberi tanda (....)16 untuk membedakan dengan bilangan lainnya.
Contoh: Rubahlah bilangan hexadesimal (B4C)16 menjadi bilangan biner.
Penyelesaian: 
(B )16 = (1011)2
(4)16 = (0100)2
(C)16 = (1100)2
Jadi bilangan hexadesimal (B4C)16 = (1011  0100  1100)2

4.2  Merubah bilangan biner menjadi bilangan hexadesimal
Cara yang mudah untuk merubah bilangan biner menjadi bilangan hexadesimal ialah dengan cara mengelompokkan setiap 4 bit bilangan biner mulai dari digit paling kanan.  Kemudian setelah dikelompokkan, tiap kelompok 4 bit tersebut dirubah menjadi bilangan hexadesimal.
Contoh: Rubahlah bilangan biner (11010101)2 menjadi bilangan hexadesimal.
Penyelesaian: 
(11010101)2 kelompok sebelah kiri (1101)2 = (D)16 
kelompok sebelah kanan (0101)2 = (5)16 
Jadi (11010101)2   = (D5)16
Soal: Rubahlah bilangan biner (101000101011)2 menjadi bilangan hexadesimal.
Penyelesaian: (101000101011)2  = (1010 0010 1011)2  = (A 2 B)16 
4.3    Merubah bilangan hexadesimal menjadi bilangan desimal
Untuk merubah bilangan hexadesimal menjadi bilangan desimal dapat dilakukan dengan cara seperti dibawah:
Rubahlah bilangan hexadesimal menjadi bilangan desimal.
(2B)16  = (.....)10 
Penyelesaian: Pertama-tama ubah bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner.
(2B)16        (2)16  = (0010)2
(B)16  = (1011)2
Hasilnya adalah (2B)16 = (0010 1011)2   
Selanjutnya bilangan biner (0010 1011)2 dirubah dalam bentuk bilangan desimal = (43)10
Soal diatas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan harga tempat.
Hexadesimal
163
162
161
160
Desimal
4096
256
16
1



2
B

(2B)  = (2x161 ) + (11x160 )    = (2x16) + (11x1)     = 32 + 11    = 43
Jadi bilangan hexadesimal (2B)16 = (43)10 

B.  OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SISTEM BILANGAN
1.  Penjumlahan Bilangan
Penjumlahan Bilangan Biner
Pada penjumlahan berlaku aturan seperti di bawah ini,
0  +  0   =  0
0  +  1   =  1
1  +  0   =  1
1  +  1   =  0 / + 1 sebagai carry 
1  +  1  +  1  =  1 / + 1 sebagai carry

Seperti cara penjumlahan bilangan desimal yang kita kenal sehari-hari, penjumlahan bilangan biner juga harus selalu memperhatikan carry (sisa) dari hasil penjumlahan pada tempat yang lebih rendah.
Contoh
Data  A  =  1  0  0  1  1  0  1  0  dan  data  B  =   0  1  0  0  1  0  0  1  akan dijumlahkan ,
Data A =
1
0
0
1
1
0
1
0
15410
Data B =
0
1
0
0
1
0
0
1
7310
Carry


1
1





A + B
1
1
1
0
0
0
1
1
22710
Dalam contoh di atas, telah dilakukan penjumlahan 8 bit tanpa carry, sehingga hasil penjumlahnya masih berupa 8 bit data. Untuk contoh di bawah akan dilakukan penjumlahan 8 bit yang menghasilkan carry.
Contoh
Data  A  =  1  0  0  1  1  0  1  0  dan  data  B  =   1  1  1  0  0  0  1  1  akan  dijumlahkan ,
Data A =

1
0
0
1
1
0
1
0
15410
Data B =

1
1
1
0
0
0
1
1
22710
Carry
1





1



A + B
1
0
1
1
1
1
1
0
1
38110
Hasil penjumlahan di atas menjadi 9 bit data, sehingga untuk 8 bit data, hasil penjumlahannya bukan merupakan jumlah 8 bit data A dan B tetapi bit yang ke-8 (dihitung mulai dari 0) atau yang disebut carry juga harus diperhatikan. sebagai hasil penjumlahan. 
Penjumlahan Bilangan Oktal
Proses penjumlahan bilangan oktal sama seperti proses penjumlahan bilangan desimal. Sisa akan timbul / terjadi jika jumlahnya telah melebihi 7 pada setiap tempat.
Contoh
a.  Bilangan Oktal A=2328 dan bilangan Oktal B = 1118 akan dijumlahkan
Bilangan Oktal A=
2
3
28
= 15410
Bilangan Oktal B=
1
1
18
= 7310
Carry




Hasil   A  +  B    =
3
4
38
= 33710


b. Bilangan Oktal A=2328 dan bilangan Oktal B = 6678 akan dijumlahkan                            
Bilangan Oktal   A=

2
3
28
= 15410
Bilangan Oktal   B=

6
6
78
= 43910
Carry
1
1
1


Hasil   A  +  B       =
1
1
2
18
= 59310

Penjumlahan Bilangan Heksadesimal
Dalam penjumlahan bilangan heksadesimal, sisa akan terjadi jika jumlah dari setiap tempat melebihi 15.
Contoh
a.  Bilangan Heksadesimal A =9A16 dan bilangan Heksadesimal B = 4316 akan dijumlahkan ,
Bilangan Heksadesimal A=
9
A16
= 15410
Bilangan Heksadesimal B=
4
316
=   6710
Carry



Hasil   A  +  B                                 =
D
D16
= 22110
b.  Bilangan Heksadesimal A = E8 dan bilangan Heksadesimal B= 9A akan dijumlahkan ,
Bilangan Heksadesimal    A =

E
816
= 23210
Bilangan Heksadesimal    B =

9
A16
= 15410
Carry
1
1


Hasil   A  +  B                         =
1
8
216
= 38610

2.  Pengurangan Bilangan
Pengurangan Bilangan Biner
Pada pengurangan bilangan biner berlaku aturan seperti di bawah ini,
      0 -  0          =  0
0 -  1          =  1 / - 1 sebagai borrow
1 -  0          =  1
1 -  1          =  0 
0  -  1  -  1              =  0 / - 1 sebagai borrow
1  -  1  -  1              =  1 / - 1 sebagai borrow
Pada pengurangan jika bilangan yang dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan peminjaman ( borrow ) pada tempat yang lebih tinggi.
Contoh
Data A = 1 0 0 1 1 0 1 0 dan data B = 0 1 0 0 1 0 0 1 akan dikurangkan ,
Data  A            =
1
0
0
1
1
0
1
0
= 15410
Data  B            =
0
1
0
0
1
0
0
1
=   7310
Borrow
1





1


Hasil A - B       =
0
1
0
1
0
0
0
1
=   8110

Pengurangan Bilangan Biner Melalui Komplement dan Penjumlahan
Aturan pengurangan diatas untuk sistem microcomputer tidak cocok, oleh karena itu digunakan cara komplement dan penjumlahan. 
Komplement adalah hasil inverter dari bilangan biner. Cara meng-inverter  dari bilangan biner biasanya disebut One's Complement atau Einerkomplement atau  Komplemen Satu Contoh
Data A = 1 0 0 1 1 0 1 0 dan data  B =  0 1 0 0 1 0 0 1  akan dikurangkan ,
Data B dikomplemen
Data                      B  =    0  1  0  0  1  0  0  1   
Komplemen satu  B  =    1  0  1  1  0  1  1  0   
Pengurangan
Langkah Pertama
Data                      A          =          1  0  0  1  1  0  1  0
Komplemen satu  B          =          1  0  1  1  0  1  1  0 
Hasil     Sementara  A + B            =      1  0  1  0  1  0  0  0  0
               Hasil Sementara
               Sisa ( Carry )
Langkah Kedua
Karena menghasilkan sisa (carry) 1(high), maka dapat disimpulkan bahwa hasil pengurangannya adalah bilangan Positip yang artinya bahwa pengurang lebih kecil dibandingkan dengan yang dikurangi. Jika dilakukan pengecakan dari hasil pengurangan  (hasil sementara), maka hasil di atas kurang 1 (satu) dibandingkan dengan hasil yang  seharusnya (010100002 = 8010). Untuk mengoreksi hasil pengurangan tersebut maka hasil sementara ditambah dengan 1 sehingga hasil yang dimaksud menjadi,
Hasil Sementara  =     0  1  0  1  0  0  0  0
                            1
Hasil  A + B           =     0  1  0  1  0  0  0  1      =      8110  

Perkalian dan Pembagian
Perkalian dan pembagian memanfatkan proses penambahan dan proses pengurangan.  Perkalian berarti pengulangan proses penambahan sedangkan pembagian berarti  pengulangan proses pengurangan sesuai dengan besarnya penyebut (pengali atau pembaginya ). 
Perkalian Bilangan Biner
Perkalian dua bilangan biner mempunyai aturan yang sama dengan perkalian bilangan    desimal. Proses perkalian bilangan A dan B dilakukan dengan cara mengalikan secara  individu  bilangan A dengan setiap bit bilangan B, kemudian semua hasil perkaliannya  ditambahkan menurut susunan bit yang sesuai.  
Contoh
Bilangan desimal A = 49 dikalikan dengan bilangan desimal B = 103, dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini,
A x B =


4
9


1
0
3


1
4
7


0
0


4
9



5
0
4
7
Contoh
Bilangan biner A = 110001 dikalikan dengan bilangan biner B = 1100111, dapat diselesaikan seperti di bawah ini,
A x B =







1
1
0
0
0
1







1
1
0
0
1
1
1








1
1
0
0
0
1







1
1
0
0
0
1







1
1
0
0
0
1







0
0
0
0
0
0







0
0
0
0
0
0







1
1
0
0
0
1







1
1
0
0
0
1







1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1

Untuk bilangan biner pengalinya hanya berharga 0 atau 1, oleh karena itu perkalian bilangan biner hanya memerlukan operasi penjumlahan dan operasi geseran.

Pembagian Bilangan Biner
Operasi pembagian dua bilangan biner secara terpisah dapat juga digambarkan sebagai  operasi pengurangan dan operasi geser.
Contoh
Bilangan desimal A = 156 dibagi dengan bilangan desimal B = 13, dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini,
A : B =

1
2



13
1
5
6



1
3





2
6




2
6





0

A  :   B  =  12         
Contoh
Bilangan biner A = 10011100 dibagi dengan bilangan biner B = 1101, dapat diselesaikan seperti di bawah ini,
10011100 : 1101 =

1
1
0
0





1101
1
0
0
1
1
1
0
0



1
1
0
1







1
1
0
1






1
1
0
1









0
0









0









0
0









0









0
10011100  :  1101  =  1100

Posted by at No comments:
Subscribe to: Posts (Atom)